関数の解き方のコツがすぐわかる！個別授業をチラ見せ！【重要問題セレクト数学Ⅲ】
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荷川取
今日は「逆関数・合成関数」について授業をしていくよ。この分野は横浜国立大学の入試でも頻出で、関数の本質的な理解が問われるところだ。静岡大学でも出題されることが多いが、横浜国立大学ではより発展的な内容まで要求される。
逆関数を求める流れは覚えているんですが、値域や合成関数の扱いになると少し混乱することがあります…。それに、先生からは今のままでは横浜国立大学は厳しいから静岡大学にしたほうがいいって言われていて、ちょっと悩んでいます。
なるほど。でも、横浜国立大学を目指すなら「基礎を徹底的に固め、典型問題を確実に解けるようにする」ことが最優先事項だよ。今の学力でも、戦略的に勉強すれば十分合格を狙える。まずは、横浜国立大学と静岡大学の数学の違いを見てみよう。
目次
横浜国立大学と静岡大学の入試難易度と出題傾向の比較
確かに難しいけれど、正しく対策すればいける！！
まずは横浜国立大学と静岡大学の数学の特徴を比較してみよう。難易度や出題傾向を知ると、自分に何が必要なのかが明確になるよ。
横浜国立大学（理系）
- 難易度：標準～やや難レベル。問題自体は基本的な考え方に基づいているが、細かい計算や論理展開を正確に行うことが求められる。途中の論理が曖昧だと得点にならず、計算ミスが大きな失点につながる。
- 出題傾向：
- 関数・極限・微分積分が頻出！
- 逆関数の性質や合成関数の構造を理解したうえで、論理的な記述が求められる。
- 「見た目は基本問題、しかし計算過程が長く、正確性が要求される」タイプの問題が多い。
- 証明や論証の問題もあり、単なる計算だけでなく、考え方を明確に記述する力が必要。
- 戦略：
- 記述の精度を高める。
- 計算ミスを防ぐための演習を繰り返す。
- 関数のグラフや値域を考える力を鍛える。
静岡大学（理系）
- 難易度：標準レベル。問題の誘導が多く、解答の手順は見つけやすいが、計算ミスをすると得点が大きく減る。
- 出題傾向：
- 逆関数・合成関数・微分積分が頻出！
- 記述の負担は横浜国立大学よりも軽いが、論理的に順序立てて解く力が求められる。
- 「典型問題を素早く正確に解くこと」が得点のカギとなる。
- 戦略：
- 典型問題を短時間で解けるようにする。
- 誘導に沿って論理的に解答できるように訓練する。
- 計算スピードと正確性を両立させる練習を積む。
横浜国立大学は記述の正確さや論理展開が大事で、静岡大学は典型問題を速く解けることが重要なんですね。
そうそう！横浜国立大学を目指すなら「記述力」、静岡大学を目指すなら「計算力」が鍵になる。今日は、逆関数・合成関数の扱いをしっかり練習しよう！
それじゃあ、まずは例題を使って、関数の問題の解き方を確認していこう。
今から教えるポイントを意識してやってみよう！
逆関数・合成関数の解法を完全マスター！
このテーマでは、次のポイントを押さえるのが重要だね。。
①逆関数は「入れ替えて入れ替える」！
- 逆関数を求める流れ：
- Step1 関数の値域を調べる（逆関数の定義域に相当）
- Step2 \(y=f(x)\) を \(x=g(y)\) の形に変形
- Step3 \(x\) と \(y\) を入れ替えて \(y=g(x)\) を得る
②合成関数の処理は「別々のものを1つにまとめる」！
- \(f(x)\) の値域が \(g(y)\) の定義域に含まれているとき、合成関数 \(z=g(f(x))\) が定義できる。
- 定義域・値域を常に意識して計算を進めることが重要。
例題：逆関数と合成関数を求める問題
問題設定
(1)次の関数の逆関数を求めよ。 \[y = \frac{3x + 1}{2x – 1}\]
(2)関数 \(f(x)=3x+1\)、\(g(x)=2x−1\) の合成関数 \((f∘g)(x)\)、\((g∘f)(x)\) を求めよ。
Step 1：逆関数を求める
じゃあまず、逆関数を求めてみよう！逆関数の基本的な流れは覚えているかな？
はい！まず \(y=f(x)\) を \(x=g(y)\) の形にして、最後に \(x\) と \(y\) を入れ替えればいいんですよね？
その通り！じゃあ、今回の関数 \[y = \frac{3x + 1}{2x – 1}\]を変形してみようか。
両辺に\(2x−1\) をかければいいですね！
\[y(2x−1)=3x+1\]次に、\(x\) について整理すると…\[2xy−y=3x+1\]
ここから、\(x\) をまとめるにはどうする？
\(x\) を含む項を左側に移して、くくればいいですね！\[2xy−3x=y+1\]\[x(2y−3)=y+1\]\[x = \frac{y + 1}{2y – 3}\]
いいね！じゃあ最後に、\(x\)
と \(y\) を入れ替えると…？
\[y=\frac{x+1}{2x−3}\]これが逆関数ですね！
正解！じゃあ、合成関数の問題に進もうか。
Step 2：合成関数を求める
次に、合成関数 \((f∘g)(x)\) と \((g∘f)(x)\) を求めよう！どういう手順で考える？
まず、\((f∘g)(x)\) は \(g(x)\) を \(f(x)\) に代入すればいいので、\(f(g(x))\) を求めればいいですね！
そうそう！じゃあ、\(f(g(x))\) を求めてみようか。
\(g(x)=2x−1\) なので、これを \(f(x)=3x+1\) に代入すると…\[(f∘g)(x)=f(2x−1)=3(2x−1)+1 = 6x – 2\]
OK！じゃあ、次に\((g∘f)(x)\) もやってみよう！
今度は \(g(f(x))\) を求めればいいので、\(f(x)=3x+1\) を \(g(x)=2x−1\) に代入します。
\[(g∘f)(x)=g(3x+1)=2(3x+1)−1 = 6x + 2 – 1 = 6x + 1\]
完璧！じゃあ、最後に答えをまとめてみようか。
\[(f∘g)(x)=6x−2,(g∘f)(x)=6x+1\]
解答とまとめ
(1)
逆関数
\[f^{−1}(x)=\frac{x + 1}{2x – 3}\]
(2)
合成関数
\[(f∘g)(x)=6x−2、(g∘f)(x)=6x+1\]
よし、いい感じだね！今日は逆関数と合成関数をしっかり理解できたと思うよ。特に、逆関数を求めるときは「方程式を解く感覚」で、きちんと変形するのが大事だよ。
志望校に応じたおすすめ参考書と勉強法
横浜国立大学を目指すなら、次の参考書を活用して効率よく学習を進めていこう！
2年3月まで：基礎固め & 計算ミスをなくす
- 参考書
- 『チャート式数学（青）』
- 『基礎問題精講 数学Ⅲ』
- 目標偏差値：60
夏休み中：標準問題の徹底演習
- 参考書
- 『1対1対応の演習』
- 『重要問題集（標準レベル）』
- 目標偏差値：62
秋以降：過去問演習 & 記述力の向上
- 参考書
- 『横浜国立大学の理系数学15カ年』
- 目標偏差値：64
この流れなら自信がつきそうです！静岡大学に下げる必要はないですね。
その意気だよ！関数の問題を得意にして、横浜国立大学合格をつかもう！
続きはノエクリの体験授業で！
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投稿者
荷川取
富士校舎の校舎長荷川取です！
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