空間ベクトルの解き方のコツがすぐわかる！個別授業をチラ見せ！【重要問題セレクト数学C】
2025.1.14 オンライン講座紹介 大学受験オススメ情報 定期テスト対策 富士校 高校数学講座 高校生の講座紹介
荷川取
今日は、空間ベクトルの中でも特に重要な 共線条件と共面条件 を勉強していくよ。このテーマは、大阪大学や神戸大学の入試で頻出だから、確実に押さえていこう！
空間ベクトルって、計算が多いテーマですよね。共線条件とか共面条件をしっかり押さえれば解けるって聞いたことがあります。
その通り！共線条件や共面条件は、数学のなかで「差がつきやすい」ところなんだ。今日はこのポイントを掘り下げながら、大阪大学と神戸大学の出題傾向も押さえていこう。
目次
空間ベクトル攻略のカギ！「条件整理」で差がつく合格点を狙え！
さっき言った共線条件と共面条件って、実は入試の数学で「差がつきやすい」ポイントなんだよね。今日は次の3つをマスターするのが目標だよ。
①共線条件・共面条件の基本をしっかり理解すること
- 特に公式の適用方法を明確にする。
②条件整理を丁寧に行う練習
- 「情報が多い問題」で混乱しない方法を学ぶ。
③志望校の出題傾向を押さえた解き方を練習する
- 大阪大学と神戸大学、それぞれの対策を意識して学ぶ。
公式を正確に覚えて、その使いどころを意識することが大事ですね。
そうだね！次に、大阪大学と神戸大学の数学がどういう問題を出すか、具体的に話していこう。
大阪大学と神戸大学の出題傾向
まず、大阪大学の数学から説明するね。大阪大学は、計算量が多くて複雑な条件を整理する力が求められるよ。
例えば、「2つ以上の条件を満たす点を求める」とか、「空間ベクトルと確率を絡めた応用問題」がよく出題されるんだ。偏差値は 67.5～72.5 くらいで、難問も多いから、取りやすい問題を確実に得点する戦略が重要だね。
計算量が多いと、途中で条件を見失わないようにするのが難しそうです。でも、難しい問題ほど差がつきますよね？
そうそう！条件がたくさんある問題では、まず式や関係を丁寧に整理して、それぞれの条件を見失わないようにすることが大切だよ。
一方、神戸大学は、大阪大学と違って「正確性」がすごく重要だよ。部分点を狙って何とかしよう、という戦略は通用しないんだ。数学は全部で高得点を取る必要があって、整数問題や空間図形の直感を問う問題もよく出題されるんだよ。偏差値は 62.5～65.0 くらいだけど、計算ミスを防いで全問解く力が求められるから、油断はできないね。
神戸大学は、計算ミスをしないのが一番の課題ですね。全部解くには、まず基本問題を正確に解けるようにしたいです。
いい意識だね！それじゃあ、まずは例題を使って、共線条件と共面条件を確認していこう。
さっき教えたポイントを意識してやってみよう！
例題：四面体 \(OABC\)の位置ベクトル問題
問題設定
- 四面体 \(OABC\)の辺上に点 \(P,Q,R\)があり、それぞれ
- \(P：OA\)を1:1に内分する点
- \(Q：OB\) を3:1に内分する点
- \(R：OC\) を5:2に内分する点
- このとき、3点 \(P,Q,R\) を通る平面と、直線 \(OG\) の交点 \(K\) を求めたい。
Step 1：共面条件で位置ベクトルを表す
まず、点 \(K\) が平面 \(PQR\) 上にあることを使って、共面条件を立てるよ。
\[OK=sOP+tOQ+uOR\] \[s+t+u=1\]
\(\vec{OP}\),\(\vec{OQ}\),\(\vec{OR}\) をそれぞれ内分点の公式で求めればいいんですね。
例えば、\(P\) は \(OA\) を1:1に内分しているから、
\[\vec{OP}=\frac{1}{2} \vec{OA}\]\(Q\) と \(R\) は、
\[\vec{OQ}=\frac{3}{4} \vec{OB}\] \[\vec{OR}=\frac{5}{7} \vec{OC}\]
素晴らしい！ここまでは完璧だね。じゃあ、次にこれを共面条件に代入して整理してみよう。
えっと…
\[\vec{OK}=\frac{s}{2} \vec{OA}+\frac{3t}{4} \vec{OB}+\frac{5u}{7} \vec{OC}\]こうなりますね。
お見事！それじゃあ、次のステップへ進もう！
Step 2：共線条件でさらに式を絞る
次に「直線 \(OG\) 上にある」という条件を加えてみよう。重心 \(G\) の公式を使うよ。
\[\vec{OG}=\frac{1}{3} (\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})\]
点 \(K\) の位置ベクトルは、こう表せるね。
\[\vec{OK}=k \vec{OG}\]
えここまでは分かります。でも、平面条件の式と直線条件の式をどう組み合わせればいいんでしょうか？
ここがポイントだよ！それぞれの式を比較して、係数を整理することで、\(s, t, u\) を求める方法が見えてくるんだ。
Step 3：係数比較で解を導く
平面条件の式と直線条件の式を比べてみよう。まず、平面条件の式はこうだったね
\[\vec{OK}=\frac{s}{2} \vec{OA}+\frac{3t}{4} \vec{OB}+\frac{5u}{7} \vec{OC}\]
一方、直線条件の式は、
\[\vec{OK}=k \vec{OG}=\frac{k}{3} (\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})\]
係数を比較すればいいんですね。例えば、\(\frac{s}{2}=\frac{k}{3}\) とか、\(\frac{3t}{4}=\frac{k}{3}\) とかが出てきます。
その調子！じゃあ \(s + t + u = 1\) を使って、最後まで計算してみよう。
えっと…。ここで \(k\) を代入すればいいんですか？ちょっと混乱してきました…。
焦らずにね！ \(k\) を求めてから、順に\(s, t, u\) を計算するんだ。式をもう一度整理してみよう。
解答とまとめ
最終的な結果はこうなるよ
\[k=\frac{18}{41}, s=\frac{12}{41}, t=\frac{24}{41}, u=\frac{5}{41}\]
なるほど…。最後の計算がごちゃごちゃして、どこで何を使うか分からなくなりそうでした。でも、一つずつ整理すれば大丈夫そうですね！
そうだね！じゃあ、ここで大阪大学と神戸大学についてもう少し話しておこう。
志望校の豆知識
- 大阪大学：証明問題も頻出で、論理的な説明力が必要だね。また、難易度が高いため、基礎力だけでなく発展的な問題への対応力を磨くことが重要。
- 神戸大学：整数問題がよく出題されるほか、数学全体で高得点を求められるから、基礎を徹底することが合格への鍵だよ。
整数問題もよく出るんですね！幅広く勉強する必要がありそうです。
その通り！勉強の方向性を間違えないよう、参考書を上手に使おう。
志望校に応じたおすすめ参考書と勉強法
じゃあ、具体的な参考書と勉強法を教えるね！
神戸大学志望
- 参考書：『1対1対応の演習/数学』『青チャート』
- 勉強法：空間ベクトル分野を 5月末までに仕上げる。計算練習を繰り返してミスを防ぐ力をつけよう。
大阪大学志望
- 参考書：『理系数学の良問プラチカ』『青チャート』
- 勉強法：夏休み中に応用問題を重点的に解いて、複雑な条件設定にも対応できるようにしよう。そのために、2年生の終わりまでに、青チャートの例題レベルはすべて解けるようにしないといけない。
参考書が具体的だと安心感がありますね！どちらも自分のレベルに合わせて取り組めそうです。
そうそう！このペースを守ってやりきれば、間違いなくいける！次回も頑張ろう！
続きはノエクリの体験授業で！
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投稿者
荷川取
富士校舎の校舎長荷川取です！
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