極限の解き方のコツがすぐわかる！個別授業をチラ見せ！【重要問題セレクト数学Ⅲ】
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荷川取
今日は「極限の基本とはさみうちの原理」について授業をしていくよ。この分野は北海道大学でも頻出で、極限の計算ミスを防ぐために絶対に押さえておくべき内容だ。
極限の基本的な計算はできるんですが、はさみうちの原理が使えるかどうかの判断が難しいです…。それに、先生からは今のままでは北海道大学は厳しいから金沢大学にしたほうがいいって言われていて、ちょっと悩んでいます。
なるほど。でも、北海道大学を目指すなら「基礎を確実に固めて、計算ミスをなくす」ことが最重要だよ。今の成績でも、戦略的に勉強すれば十分合格を狙える。まずは、北海道大学と金沢大学の数学の違いを見てみよう。
目次
北海道大学と金沢大学の入試難易度と出題傾向の比較
まずは北海道大学と金沢大学の数学の特徴を比較してみよう。難易度や出題傾向を知ると、自分に何が必要なのかが明確になるよ。
北海道大学（理系）
- 難易度：標準〜やや難レベル。問題の見た目はシンプルに見えるが、計算量が多く、正確な計算力と論理的思考力が必要。解答の途中で詰まると、大幅に得点を落とす可能性がある。
- 出題傾向：
- 極限・微分積分・ベクトルが頻出！
- 「基本的な計算を正確に行う力」を問う問題が多い。
- 記述問題では、途中計算の過程をしっかり書かせる問題が多く、答案の論理性も評価される。
- 「見た目は基本問題、しかし計算力がないと途中で崩れる」タイプの問題が多く、ミスを防ぐ練習が不可欠。
- 戦略：
- 計算ミスをなくす練習を積む。
- 記述の精度を高める。
- 典型問題を素早く解けるようにする。
金沢大学（理系）
- 難易度：標準レベルだが、基礎が定着していないと解ききることが難しい。北海道大学と比べると誘導が多く、問題文の指示に従えば解法を導きやすいが、計算過程を丁寧に処理しないと最後までたどり着けない。
- 出題傾向：
- 極限・微分・積分・三角関数が頻出！
- 誘導が多いが、途中でミスをするとその後の解答にも影響するため、正確な計算力が必要。
- 記述問題はシンプルだが、計算過程を省略しすぎると減点の可能性あり。
- 戦略：
- 「部分点を稼ぐ」ではなく「確実に完答する」意識を持つ。
- 計算スピードと正確性を両立させる練習を積む。
- 典型問題を短時間で正確に解けるようにする。
北海道大学は見た目が基本的でも、計算量が多くて油断できないんですね…。金沢大学も誘導があるとはいえ、確実に解ききる力が求められるんですね。
そうそう。どちらの大学も「計算力」「正確性」「論理的な答案作成能力」が求められる。だからこそ、今のうちにしっかり練習していこう！
それじゃあ、まずは例題を使って、極限の問題の解き方を確認していこう。
今から教えるポイントを意識してやってみよう！
極限とはさみうちの原理を確実にマスター！
このテーマでは、次のポイントを押さえるのが重要だね。。
①極限の基本ルールを押さえろ！
- 収束・発散・振動の3パターンを理解する。
- 極限の不定形（\(\frac{\infty}{\infty}、0×∞\) など）の種類を把握する。
②極限の計算で間違えやすいポイントを克服！
- 最高次の項で分母・分子を割る
- 分母・分子の有理化を活用
③はさみうちの原理の使いどころを見極めろ！
- \(−1≤sinx≤1\) のような基本的不等式を活用する。
- 振動する関数が含まれる場合は「はさみうち」を疑う。
例題：はさみうちの原理を使う問題
問題設定
\[\lim_{n→∞}{\frac{\sin{n}}{n}}\]
を求めよ。
Step1: はさみうちの原理が使えるかを判断する
まず、この極限の形を見て、はさみうちの原理が使えるかどうかを考えてみよう。
\(\sin{n}\) の部分が気になりますね。三角関数は \(−1≤\sin{n}≤1\) だから、それを使って評価できそうです！
その通り！では、その不等式を使ってこの式を評価してみよう。
Step2: 不等式で評価する
\(\sin{n}\) の性質より、\[−1≤\sin{n}≤1\]両辺を \(\frac{1}{n}\) 倍すると、\[-\frac{1}{n} \leq \frac{\sin {n}}{n} \leq \frac{1}{n}\]
Step 3：極限を求める
じゃあ、左右の項の極限を求めてみよう。
\[\lim_{n→∞}{-\frac{1}{n}}=0, \lim_{n→∞}{\frac{1}{n}}=0\]ですね！
バッチリだね！では、はさみうちの原理を適用するとどうなる？
\[\lim_{n→∞}{\frac{\sin{n}}{n}}=0\]ですね！
完璧！しっかり理解できたね。
解答とまとめ
\[\lim_{n→∞}{\frac{\sin{n}}{n}}=0\]
北海道大学の入試でも、はさみうちの原理はしっかり使えるようにしておこう！
志望校に応じたおすすめ参考書と勉強法
北海道大学を目指すなら、次の参考書を活用して効率よく学習を進めていこう！
2年3月まで：基礎固め & 計算ミスをなくす
- 参考書
- 『チャート式数学（青）』
- 『基礎問題精講 数学ⅡB』
- 目標偏差値：60
夏休み中：標準問題の徹底演習
- 参考書
- 『重要問題集（標準レベル）』
- 『1対1対応の演習』
- 目標偏差値：65
秋以降：過去問演習 & 記述力の向上
- 参考書
- 『北海道大学の理系数学15カ年』
- 目標偏差値：67
この流れなら自信がつきそうです！北海道大学を何とかして目指したいです。
その意気だよ！今の力をさらに伸ばして、北海道大学への道を一緒に切り開こう！
続きはノエクリの体験授業で！
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投稿者
荷川取
富士校舎の校舎長荷川取です！
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