整数の解き方のコツがすぐわかる！個別授業をチラ見せ！【重要問題セレクト数学A】
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荷川取
今日は「互除法と1次不定方程式」をテーマに授業を進めるよ。この分野は京都大学の整数問題の基礎になる重要単元だ。整数問題が得意になれば、数学の総合力が上がるから、しっかりマスターしておこう。
整数問題は割と好きですけど、1次不定方程式になると解法がいろいろあって、どの手順で進めるのがいいのか迷うことがあります…。それに、京都大学を目指しているんですが、大阪大学に下げるべきか悩んでいます。
なるほど。でも、京都大学を目指す価値はすごく大きいよ。整数問題は京都大学の頻出分野で、論理的思考力が求められるけど、解法を身につければ十分戦える。まずは京都大学と大阪大学の数学の違いを見てみよう。
目次
京都大学と大阪大学の入試難易度と出題傾向の比較
確かに難しいけれど、正しく対策すればいける！！
まずは京都大学と大阪大学の数学の特徴を比較してみよう。難易度や出題傾向を知ると、自分に何が必要なのかが明確になるよ。
京都大学（理系）
- 難易度：全国屈指の高難易度。発想力と論理構成力が求められる。
- 出題傾向：
- 整数問題の頻出度が高い！ 互除法や不定方程式、数論的手法を絡めた問題がよく出題される。
- 記述問題が中心で、答案の論理構成が厳しく評価される。
- 「一見方針が立ちにくい問題」が多く、柔軟な思考力が問われる。
- 戦略：典型問題の解法を確実に身につけた上で、論理的に説明できるように訓練する。
大阪大学（理系）
- 難易度：京都大学よりも標準的な問題が多いが、計算量が多い問題も出題される。
- 出題傾向：
- 「整数問題」は京都大学ほど頻出ではないが、基本的な不定方程式や最大公約数の問題は出題される。
- 解答の書き方の自由度は比較的高く、計算ミスを防ぐことが重要。
- 記述よりも「計算力」を問う問題が多い。
- 戦略：整数問題に特化するより、広範囲の分野の標準問題を解ききる力をつける。
京都大学の整数問題は頻出なんですね。でも、発想力を求められるとなると、自分にできるのか不安です…。
確かに発想力は必要だけど、実は整数問題には「決まった解法の型」がある。今日はその型をしっかり身につければ、どんな問題が来ても解けるようになるよ！
それじゃあ、まずは例題を使って、整数の問題の解き方を確認していこう。
今から教えるポイントを意識してやってみよう！
互除法と1次不定方程式の解法を完全マスター！
このテーマでは、次のポイントを押さえるのが重要だね。。
①ユークリッドの互除法を正しく使え！
- 最大公約数を求めるだけでなく、互除法を使って不定方程式の整数解を求める技術を身につける。
②1次不定方程式の解法パターンを丸暗記！
- 方程式 \(ax+by=m\) の解法には定型パターンがある。これを覚えておけば整数解を瞬時に求められる。
③整数解を求める際の発想を鍛えろ！
- 京都大学では「整数の性質を考察させる問題」が出題される。単に計算するだけでなく、「整数解が存在する条件」を考える習慣をつける。
例題：互除法と1次不定方程式を極める！
問題設定
次の1次不定方程式の整数解をすべて求めよ。\[275x+61y=1\]
Step 1：ユークリッドの互除法で最大公約数を求める
まず、275と61の最大公約数を求めよう。どうすればいい？
ユークリッドの互除法を使えばいいですね！\[275=61×4+31\]\[61=31×1+30\]\[31=30×1+1\]最後の余りが1なので、275と61は互いに素ですね！
バッチリだね！互いに素だから、方程式\[275x+61y=1\]は整数解を持つことが確定したね。次に、整数解を求めよう。
Step 2：逆にたどって整数解を求める
今度は、ユークリッドの互除法を逆にたどって「1」を275と61の整数の線形結合で表してみよう。まず、最後の式を変形すると？
\[1=31−1×30\]ここで、\(30=61−31×1\) を代入すると、\[1=31−1×(61−31×1)=2×31−61\]
いいね！さらに、\(31=275−61×4\) を代入するとどうなる？
\[1=2×(275−61×4)−61 =2×275−8×61−61 =
2×275−9×61\]したがって、整数解の一つは
\[x=2,y=−9\]ですね！
Step 3：一般解を求める
ここまでで、\(275x+61y=1\) の特定の整数解\((x,y)=(2,−9)\) を求めたね。次に、この方程式のすべての整数解を求めよう。
1次不定方程式 \(275x+61y=1\) に対して、すでに求めた解 \(x=2,y=−9\) を利用して、両辺の差を取ることを考える。
\[275x+61y−(275×2+61×(−9))=1−1\]\[275(x−2)+61(y+9)=0\]ここで、\(275(x−2)=−61(y+9)\) となるので、移項すると
\[275(x−2)=−61(y+9)\]
この式を見て、何が言えるかな？
275と61は互いに素なので、275は61の倍数にはなりません！よって、\(x−2\) は61の倍数、\(y+9\) は275の倍数になる必要があります。
つまり、\[x−2=61k, y+9=−275k (kは整数)\]と表せますね！
そうそう！したがって、1次不定方程式のすべての整数解は\[x=2+61k, y=−9−275k (kは整数)\]となる。
なるほど！両辺の差をとって整理することで、一般解の形が自然に出てくるんですね！
そういうこと！整数問題では、具体的な解を見つけたら、そこから一般解へどうつなげるかを意識するのが大事だよ。
解答とまとめ
すべての整数解は\[x=2+61k, y=−9−275k (kは整数)\]
京都大学では、このように整数解を求めた後に「自然数解が存在するか？」といった発展問題が出ることが多い。次の授業では、それに対応するための考え方を学ぼう！
志望校に応じたおすすめ参考書と勉強法
京都大学を目指すなら、次の参考書を活用して効率よく学習を進めていこう！
参考書
- 『チャート式数学（青）』：基本を完璧にする。
- 『大学への数学 1対1対応の演習』：発想力を鍛える。
- 『理系数学の良問プラチカ』：記述力を磨く。
- 『京大の理系数学 27か年』：過去問演習で対策。
勉強法
- 2年3月まで：標準問題を確実に解ける力を身につける。
- 目標偏差値：68（模試数学）
- 夏休み中：応用力＆記述力を強化する。
- 目標偏差値：70（模試数学）
- 秋以降：京都大学の過去問を徹底的に解き、記述力を高める。
- 目標偏差値：73（模試数学）
この流れなら自信がつきそうです！大阪大学に下げる必要はないですね。
その意気だよ！整数問題を得意にして、京都大学合格をつかもう！
続きはノエクリの体験授業で！
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投稿者
荷川取
富士校舎の校舎長荷川取です！
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