今日は漸化式について勉強していくよ！

そうだね。漸化式は難しいけど、解き方の型が決まっているからパターン学習が有効だね。
例えば、名古屋大学の漸化式の問題でも、この講座を全て終える頃にはどのパターンでも対応できちゃうんだ！

今日はその手始めに、指数関数型の『漸化式』を攻略してみよう！

漸化式の問題では次の3つがポイントになるよ。

その意気だ！では実際に例題を解いてみよう！

この漸化式をそのまま扱うのは計算が複雑になるから、「置き換え」を使って式を簡略化しよう。
その前に、まずは指数関数型の項\(2^n\)があることに注目！
このように指数関数型の項があるときは、両辺を \(2^{n+1}\) で割るんだ！
ちなみに、式に含まれるのが\(3^n\)なら、\(3^{n+1}\)で割ればいいし、\(5^n\)なら、\(5^{n+1}\)で割っていくよ。

良い質問だね。
置き換えをするためには、左辺に(n+1の式)、右辺に(nの式)が同じ形で出てこないといけないんだ。

例えば、こんな感じだね。
\[(n+1)a_{n+1}=2na_n\]　　・・・①
ここで、\(b_n=na_n\)とおけば、
左辺の\((n+1)a_{n+1}\)はどう表せる？
、と表せるんだ。
だから、式①は、\(b_{n+1}=2b_n\)とシンプルな形になるよ！
これは等比型だから、後は簡単に解けるはずだね！

そうだね！左辺の\((n+1)a_{n+1}\)は、\(b_{n+1}=(n+1)a_{n+1}\)と表せるんだ。
だから、式①に\(b_n\)と、\(b_{n+1}\)をあてはめるとどうなる？

そうだね！これは等比型だから、後は簡単に解けるはずだね！

そうそう！だから、漸化式1回目の授業で学んだ『漸化式の基本4パターン』ができていれば、ここもすんなりできるようになるよ！

じゃあ、置き換えを使って、新たに\({b_n}\)の漸化式を導いてみよう。

\[\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=\frac{2a_n}{2^{n+1}}+\frac{2^n}{2^{n+1}}\]において、新しい数列 {\(b_n\)} はどうやっておけば置き換えができそうかな？

お、早くもコツをつかんだね！その形で置き換えるとどうなる？

オッケー！この形の漸化式と言えば、何タイプ？

ここがポイントだよ！置き換えをすることで、漸化式の基本形が見えてくるんだ。
では\(b_n\)の一般項を求めていくよ。

{\(b_n\)} の漸化式は、等差数列になっているんだったよね。
ということは、初項と公差がわかれば、一般項を求められそうだね。初項と公差はわかる？

よし、バッチリだね！じゃあ、この数列の一般項は…？

素晴らしい！最後に、{\(b_n\)​} の一般項を元に戻して、{\(a_n\)} の一般項を求めよう。

{\(b_n\)​} の一般項を元に戻して、{\(a_n\)} の一般項を求めるためには、さっき求めた
\[b_n = \frac{n}{2}\]​を、\(a_n = b_n \cdot 2^n\)へと代入しようか。

この問題の一般項は、\[a_n = \frac{n}{2} \cdot 2^n = n \cdot 2^{n-1}\]だね。

漸化式は、このように問題に応じた工夫をすれば、難しそうな式も解きやすくなるよ。

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例えば、青チャートの問題もすべて解けるし、模試でも完答できるよ！