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群数列とは

数列の並びを「第1群」「第2群」…のようにかたまり（群）で区切る問題です。

例：
第1群：1
第2群：2,2
第3群：3,3,3
第4群：4,4,4,4 …
→ 何個で1群か、各群の中身がどう決まるか、を最初に読み取ります。

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群数列の2大パターン

群数列の問題では、群（しきり）を取り去った数列を見抜くことが最初のポイントです。

パターンは大きく分けて2つあります。

パターン	読み取りポイント	よくある数列の例
等差・等比型	各群の中身が等差 or 等比になっている	2,4｜6,8,10｜12,14,16,18…
特殊並び型	「kをk個」など群ごとの規則で数を並べる	1｜2,2｜3,3,3｜4,4,4,4…

※ どちらでも共通して行うのは
①第n群に含まれる項数
②累積項数（第n群の初項は、初めから数えて何番目か）
の2つの把握です。この『n群をつかまえる』のが2つ目のポイントです。

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群数列の3つの神ワザ

①初項の神ワザ：

　1.　 第(n−1)群までの累積項数 \(S_{n-1}\) を作る
→n-1群の末項が「初めから数えて何番目か」
　2.　元の数列の一般項 \(a_m\) を用意
→あえて文字を変えておくと、それぞれの文字が表す「群」「何番目」を整理できる
　3.　 \(m=S_{n-1}+1\) を aₙ に代入 →「第n群の初項」

②群数列の和の神ワザ：

　1.　「第k群の和」を求める
　2.　「第k群の和」を Σ（シグマ）で足し合わせる。順番は必ず 群内 → 全体。

③位置特定問題の神ワザ：

　1.　 第n群までの累積項数 \(S_n\) を作る\[（例：1+2+…+n =\frac{1}{2}n(n+1) など）\]
　2.　「n群に含まれる」と仮定し、不等式を立てる
　　　不等式 ：n-1群までの累積項数\(S_{n-1} < n ≤ n群までの累積項数S_n \)
　3.　 具体的数値を代入して、不等式を満たすnを探し当てる
　4.　3.で求めた群の中で、何番目にあるのかを数える

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どの群数列でも必須！第n群の初項を求める

n群の初項の神ワザ

① 第(n−1)群までの累積項数 \(S_{n-1}\) を作る
→n-1群の末項が「初めから数えて何番目か」
② 元の数列の一般項 \(a_m\) を用意
→あえて文字を変えておくと、それぞれの文字が表す「群」「何番目」を整理できる
③ \(m=S_{n-1}+1\) を aₙ に代入 →「第n群の初項」

等比型の例

初項1、公比2 の等比数列：1,2,4,,16,…を
「第1群=2個，第2群=4個，第3群=6個…（第k群=2k 個）」に区切る。
→｜1,2｜4,8,16,32｜64,128,256,512,1024,2048｜…
第n群の初項を求めよ。

Step ①： 第(n−1)群までの累積項数 \(S_{n-1}\) を作る

→n-1群の末項が「初めから数えて何番目か」

（第1群〜第(n−1)群）

\[2 + 4 + \cdots + 2(n-1) = 2(1+2+\cdots+(n-1)) = 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = n(n-1)\]

→ ここが 累積項数 \(S_{n-1}\) 。

Step ②：元の数列の一般項 \(a_m\) を用意

→あえて文字を変えておくと、それぞれの文字が表す「群」「何番目」を整理できる

等比： \(a_m = 1\cdot 2^{\,m-1} = 2^{\,m-1}\)

Step ③： \(m=S_{n-1}+1\) を aₙ に代入

→「第n群の初項」

\[a_{m} = 2^{\,\{\,n(n-1)+1\,\}-1} = 2^{\,n(n-1)}\]

第k群の初項：

\[2^{\,n(n-1)}\]

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頻出問題①群数列の和の求め方

群数列の和の神ワザ

①「第k群の和」を求める
② 「第k群の和」を Σ（シグマ）で足し合わせる。順番は必ず 群内 → 全体。

例：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,… の和

この数列は1群に項（1）が1個、2群は2が2個、3群は3が3個、…となっているので、「第k群には k が k 個並ぶ」。

第k群：k, k, …（k個）

↓

第k群の和：kがk個あるから、k × k ＝ k²

第n群までの総和

\[\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]

→ \(Σ\)の公式どおり！。

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頻出問題②「○○は第何群の何番目？」

位置特定問題の神ワザ

① 第n群までの累積項数 \(S_n\) を作る\[（例：1+2+…+n =\frac{1}{2}n(n+1) など）\]
② 「n群に含まれる」と仮定し、不等式を立てる
不等式 ：n-1群までの累積項数\(S_{n-1} < n ≤ n群までの累積項数S_n \)
③ 具体的数値を代入して、不等式を満たすnを探し当てる
④ ③で求めた群の中で、何番目にあるのかを数える

等差型の例

数列： 2｜4,6｜8,10,12｜14,… を考える。
第k群に含まれる項数がk個になるように区切る。
このとき、32 は第何群の何番目の項か。

Step ①： 第n群までの累積項数 \(S_n\) を作る

\[（例：1+2+…+n =\frac{1}{2}n(n+1) など）\]

\[S_n=1+2+⋯+n= \frac{k(k+1)}{2}\]​

Step ②：「n群に含まれる」と仮定し、不等式を立てる

不等式 ：n-1群までの累積項数\(S_{n-1} < n ≤ n群までの累積項数S_n \)

等差数列の一般項： \(a_n = 2n\)（初項2、公差2）
\(32 = 2n → n=16\)
32 は第16項。よって、
Sₖ₋₁ < 16 ≤ Sₖ

Step ③：具体的数値を代入して、不等式を満たすnを探し当てる

n=5 のとき \[S_5 = \frac{5\cdot6}{2}=15 → 15 < 16\]
n=6 のとき \[S_6 = \frac{6\cdot7}{2}=21 → 16 ≤ 21\]
→ 第6群 に入る。

Step ④：③で求めた群の中で、何番目にあるのかを数える

16 − S₅ = 16 − 15 = 1番目。
答え：第6群の1番目の項。

確認用の並べ書き

第1群： 2
第2群： 4, 6
第3群： 8, 10, 12
第4群： 14, 16, 18, 20
第5群： 22, 24, 26, 28, 30
第6群： 32, 34, 36, 38, 40, 42
        ↑第16項=第6群の1番目

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つまずきやすい点と対処

①群の長さを先に確定

第k群に何個あるかを書き出す。

②「項数の和」から、「k群の末項が初めから数えて何番目か」を求める

1,3,6,10,15,… や ½k(k+1) を毎回書く。

③不等式は初項（または初項が何番目か）と末項（または末項が何番目か）で挟む

Sₖ₋₁ < n ≤ Sₖ の形を崩さない。

④順序を守る

初項→群和→Σ、または n→不等式→差。

⑤図で補助

群の区切り線、累積の位置、群内番号を書き込む。

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まとめ

神ワザ3つのおさらい

①初項の神ワザ：

　1.　 第(n−1)群までの累積項数 \(S_{n-1}\) を作る
→n-1群の末項が「初めから数えて何番目か」
　2.　元の数列の一般項 \(a_m\) を用意
→あえて文字を変えておくと、それぞれの文字が表す「群」「何番目」を整理できる
　3.　 \(m=S_{n-1}+1\) を aₙ に代入 →「第n群の初項」

②群数列の和の神ワザ：

　1.　「第k群の和」を求める
　2.　「第k群の和」を Σ（シグマ）で足し合わせる。順番は必ず 群内 → 全体。

③位置特定問題の神ワザ：

　1.　 第n群までの累積項数 \(S_n\) を作る\[（例：1+2+…+n =\frac{1}{2}n(n+1) など）\]
　2.　「n群に含まれる」と仮定し、不等式を立てる
　　　不等式 ：n-1群までの累積項数\(S_{n-1} < n ≤ n群までの累積項数S_n \)
　3.　 具体的数値を代入して、不等式を満たすnを探し当てる
　4.　3.で求めた群の中で、何番目にあるのかを数える

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