式と証明の解き方のコツがすぐわかる！個別授業をチラ見せ！【重要問題セレクト数学Ⅱ】
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荷川取
今日は「等式の証明」をテーマに授業を進めていくよ！証明問題って苦手意識を持つ人が多いけど、実は基本の流れを押さえればそこまで難しくないんだ。
等式の証明って、途中でどう変形すればいいかわからなくなることがあります…。しかも証明問題は時間がかかりそうで不安です。
確かに計算とは少し違うけれど、考え方をしっかり押さえれば必ず解けるようになるよ。それに、志望校の横浜国立大学でも証明問題は出るから、ここを強みにできると大きいよね。
そうなんですよ…。でも学校の先生には「静岡大学に下げた方がいい」って言われていて、それがちょっと気になってます。やっぱり横浜国立大学は難しいですよね？
目次
横浜国立大学と静岡大学の入試難易度と出題傾向の比較
確かに難しいけれど、今から戦略的に取り組んでいけば受かる！ただ、今日からすぐに本気で取り組まないといけない。
まずは横浜国立大学と静岡大学の数学の特徴を比較してみよう。難易度や出題傾向を知ると、自分に何が必要なのかが明確になるよ。
横浜国立大学（理系）
- 難易度：国公立大の中でも中堅以上の難易度。記述式で計算力と論理的な説明力を問う問題が多い。
- 出題傾向：典型的な問題に加え、「証明問題」「微分・積分」「確率」の応用問題が頻出。
特に証明問題では、変形力と条件を活用する力が試される。 - 戦略：標準問題を確実に得点できるようにし、応用問題で部分点を狙う練習が重要。
静岡大学（理系）
- 難易度：横浜国立大学より易しい問題が中心だが、ミスを許さない基礎力が求められる。
- 出題傾向：計算問題が多く、「微分・積分」や「場合の数」など基礎的なテーマが頻出。
- 戦略：基礎問題を確実に解けるようにし、解答スピードを高める練習を重点的に行うことがポイント。
横浜国立大学のほうがやっぱり難しいんですね…。でも、あきらめたくないです！
横浜国立大学は確かにハードルが高いけれど、諦める必要なんか全くないよ。出題傾向に沿って対策すれば、君の力でも十分戦える。特に今日の「等式の証明」みたいなみんなも苦手にしやすい単元を得意にしていけば、大きな自信になるよ。
それじゃあ、まずは例題を使って、証明の問題の解き方を確認していこう。
今から教えるポイントを意識してやってみよう！
証明方法の3つの基本パターンを攻略！
等式の証明は大きく分けて次の3つの方法があるよ。
①両辺をそれぞれ変形し、同じ形に導く方法
- 例）\(A=…=C,B=…=C \quad ∴ A=B\)
②一方を変形し、他方を導く方法
- より面倒くさそうな形を選んで変形する！
③両辺の差をとり、それが0になることを示す方法
- 例）\(A-B=…=0 \quad ∴ A=B\)
意外とシンプルなんですね！でも、どれを使えばいいか迷いそうです…。
そこが慣れの部分だね。最初は、問題文をよく読んで条件に合わせた方法を選ぶことが大事だよ。例題を解きながら具体的に見ていこう！
例題：等式の証明
問題設定
\(α+β+γ=0\) のとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。\[α^3+β^3+γ^3=3αβγ\]
Step 1：条件を活用して変形する
まず、問題文に与えられた条件 \(α+β+γ=0\) を利用しよう。この条件から何が導けると思う？
うーん、たしか \(γ=−(α+β)\) みたいに書き換えることができますよね？
そうそう！『条件式が出てきたら、1文字を消去する』と覚えておこう。
それじゃあ、この \(γ=−(α+β)\) を証明する等式の左辺に代入してみよう。
Step 2：左辺を変形する
左辺を変形すると、次のようになるね。\[α^3+β^3+(−(α+β))^3\]
マイナス部分だけを計算すると…\[α^3+β^3−(α+β)^3\]ここまでは合っていますか？
バッチリだよ！次に、\[(α+β)^3\] を展開してみよう。
はい！公式を使うと\[(α+β)^3=α^3+β^3+3α^2β+3αβ^2\]
Step 3：式を簡単にする
いいね！では、これをもとの式に戻して整理するとどうなるかな？
えっと、\[α^3+β^3−(α^3+β^3+3α^2β+3αβ^2)\]となるので、\[=−3α^2β−3αβ^2=−3αβ(α+β)\]あっ、ここで \(α+β=−γ\) を代入すれば…\[=−3αβ(−γ)=3αβγ\]
完璧！これで左辺＝右辺が示せたね。よく頑張った！
解答
解答とまとめ
\[α^3+β^3+γ^3=3αβγ\]この証明では、条件を利用して式を簡単にする力が重要だったね。次は、別のタイプの証明問題に挑戦してみようか！
志望校に応じたおすすめ参考書と勉強法
横浜国立大学を目指すなら、次の参考書を活用して勉強を進めていこう！
参考書
- 『初めから始める数学（マセマ）』：基礎をしっかり固めるためのスタートに最適。
- 『チャート式数学（青）』：基礎から標準問題を網羅。
- 『大学への数学 1対1対応の演習』：応用問題に慣れるのに最適。
勉強法
- 2年3月まで：基礎問題を徹底的に解き、証明の流れを覚える練習をする。
- 目標偏差値：55（模試数学）
- 夏休み中：標準問題を中心に記述問題の練習を始める。
- 目標偏差値：60（模試数学）
- 秋以降：横浜国立大学の過去問を解き、答案の完成度を高める。
- 目標偏差値：62（模試数学）
これだけ頑張ればいいんですね！やっぱり、横浜国立大学に挑戦したいです！
はじめにも話した通り、今日から本気になってこの勉強法を続ければ、今からでも横浜国立大学にいけるよ。先生が伴走するから、一緒に頑張ろう！
続きはノエクリの体験授業で！
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投稿者
荷川取
富士校舎の校舎長荷川取です！
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