共通テスト対策はこれで万全！個別授業をチラ見せ！【共通テスト対策数学ⅠA】
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荷川取
よし、じゃあ2024年度共通テスト数学ⅠA第5問の解説を、さらに詳しく進めていくよ。問題の設定や定理の使い方をしっかり押さえながら、一緒に解いていこう！
目次
(1) メネラウスの定理を使って比を求める
まず、問題文に「△AQDと直線CEに着目して」とあるね。これは メネラウスの定理 を使う合図だよ。メネラウスの定理を忘れた人のために簡単におさらいしておこう。
メネラウスの定理の復習
三角形とその1辺を横切る直線がある場合、比の積が1になるというものだ。具体的には、以下の形で成り立つ：
\[\frac{A■}{■B}×\frac{B▲}{▲C}×\frac{C★}{★A}=1\]
じゃあ実際にやってみよう。△AQDと直線CEを考えると、こういう式が成り立つ
\[\frac{QR}{RD} \times \frac{DS}{SA} \times \frac{AC}{CQ} = 1\]
QRとかRDの比って、まだわからないですよね？どうやって埋めていけばいいんでしょうか。
良い質問だね！問題文には 「AP：PQ：QC＝2：3：3」 と 「AT：TS：SD＝1：1：3」 という比が書かれているから、まずこれらを元に情報を整理するんだよ。
なるほど。問題文に出ている比から、どれが何に対応するのかを考えればいいんですね。でも、図形を見ながらじゃないと分かりにくそうです。
その通り！だから、問題文を読んだら必ず図に書き込んで、対応関係を視覚的に整理するのが大事なんだ。
比を整理して代入
まず「AP：PQ：QC＝2：3：3」から、ACの長さを表すと
\[AC=AP+PQ+QC=2+3+3=8\]
これを使って比を計算すると、\(\frac{AC}{CQ} = \frac{8}{3}\)
また「AT：TS：SD＝1：1：3」から、\(\frac{DS}{SA} = \frac{3}{2}\)
ACの長さが8になるのは分かりました！でも、CQの比率だけを出すときに間違えそうです。これ、「PQとQCを間違える」みたいなミスしそう…。
そうだね。特に長文問題だと、どの比がどの線分に対応するのかが混乱しやすい。だから、式に代入する前に「AP＋PQ＝AC」という合計の関係を確認することが大切だよ。
メネラウスの定理に代入
ここまで整理できたら、メネラウスの定理に代入しよう。式はこうなるね
\[\frac{QR}{RD} \times \frac{3}{2} \times \frac{8}{3} = 1\]
えっと、確かに全部代入されてますね！でも、式の途中で間違えないようにするには、どう計算を進めるのが良いんですか？
いい質問だね！ポイントは、簡単に約分できる部分を先に処理すること。ここでは、\(\frac{3}{3} = 1\) になるから、式がもっとシンプルになるよ。
QR：RDを求める
じゃあ計算を進めると、残るのは：
\(\frac{QR}{RD} = \frac{1}{4}\)
つまり、QR：RD=1：4
これでQR：RDの比が求まりました！でも、この結果がどう使えるのか、少しピンときません。
それも良い指摘だね。ここで求めた比は、次に「△AQDと直線BE」に着目したときに役立つよ。全体の比の流れを追うのが、この問題を解く鍵なんだ。
ここでの注意点
- 「AP：PQ：QC」の合計を間違えない
AP＋PQ＝ACといった 合計の計算を忘れる 人が多い。これが出題者のひっかけポイントだ！特に「QCだけをACと思い込む」ミスには注意だよ。 - 式の流れをしっかり追う
比の代入をミスすると、全体の比が狂ってしまうから、整理しながら進めることが大切だ。
たしかに「QC＝3」をそのまま使ってAC＝3だと勘違いするかも…。しっかり足し算しなきゃですね！
これで(1)の△AQDと直線CEにおける比は求まったね！次は、同じ方法で△AQDと直線BEに着目してみようか。
(1) 再びメネラウスの定理を適用
次に、△AQDに対して、直線BEを横切る点を考えると、メネラウスの定理がこうなるね
\[\frac{QB}{BD} \times \frac{DT}{TA} \times \frac{AP}{PQ} = 1\]
またメネラウスの定理ですね！これも同じ手順で解けばいいんですよね？
そうだよ。ただ、ここでは与えられた比に少し注意が必要だね。
与えられた比を整理しよう
問題文から、以下の比が与えられていたね。
- 「AT：TS：SD＝1：1：3」 → \[\frac{DT}{TA} = 4\]
（ATとTSがそれぞれ1、DTはその合計の2倍） - 「AP：PQ：QC＝2：3：3」 →\[\frac{AP}{PQ} = \frac{2}{3}\]
DTが「AT＋TS」の合計で2倍になるっていう考え方、ちょっとわかりにくいですね。でも図を見たら納得できました！
比を代入する
これを式に代入してみると、\(\frac{QB}{BD} \times 4 \times \frac{2}{3} = 1\)
あれ、どう計算すればいいのか混乱します…。まずどこから始めればいいんでしょう？
大丈夫！まずは掛け算をまとめてみよう。ここでは、4と\(\frac{2}{3}\)をかけると：\(\frac{QB}{BD} \times \frac{8}{3} = 1\)
次に両辺を\(\frac{8}{3}\)で割るんだよ。
なるほど！分数の計算を丁寧にやると、\(\frac{QB}{BD} = \frac{3}{8}\) になるんですね！
(1) の結論
その通り！これで、BQ：QR：RD＝3：1：4 という比が求まったよ。
全部の比が出そろったから、これで何をすればいいのかも見えてきますね！
ゴールデンルール
ここで、もう一度解き方を振り返ろう。長文問題の中でどう進めれば良いか、具体的な手順をまとめるね。
1. 問題文の比を図に書き込む
問題文に与えられた比（AP：PQ：QC、AT：TS：SDなど）を、まずしっかり図に書き込むことが最優先だよ。
たしかに、図があると式を代入するときにミスが減りそうですね！
2. 定理を使うタイミングを見極める
- △AQDと直線CE → メネラウスの定理を使う！
- △AQDと直線BE → 同じくメネラウスの定理！
どの三角形と直線を選ぶかが、解きやすさを決めるんですね！
3. 計算の途中で比を見失わない
- 比は1つ1つ式に代入するたびに、問題文と照らし合わせて確認する。
問題文を読んで、必ず1回戻ってチェックする癖をつけたいです！
次は (2) の問題に進もう！方べきの定理を使って、「点が円周上にあるかどうか」を調べる問題に挑戦するよ。
方べきの定理って聞いたことあります！次の解説も楽しみです！
続きはノエクリの体験授業で！
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投稿者
荷川取
富士校舎の校舎長荷川取です！
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