二次関数の解き方のコツがすぐわかる！個別授業をチラ見せ！【重要問題セレクト数学Ⅰ】
2025.1.21 オンライン講座紹介 大学受験オススメ情報 富士校 高校数学講座 高校生の講座紹介
荷川取
今日は「二次関数の最大値・最小値」をテーマに授業を進めるよ。この分野は東北大学や北海道大学の入試でよく出題される重要単元だ。特に定義域が絡む問題では、基礎力に加えて丁寧な処理が必要になるよ。
最大最小の問題は模試で出てくるけど、範囲が絡むと少し混乱します…。それに、東北大学を目指していいのか、北海道大学に下げるべきか迷っていて…。
その気持ちはわかるよ。でも、東北大学は基礎をしっかり固めて応用力をつければ十分に狙える大学だし、北海道大学も基礎力を重視してくる大学だから、どちらの対策にも今日の内容は役に立つよ。一緒に頑張っていこう！
目次
東北大学と北海道大学の入試難易度と出題傾向の比較
まずは東北大学と北海道大学の数学の特徴を比較してみよう。難易度や出題傾向を知ると、自分に何が必要なのかが明確になるよ。
東北大学（理系）
- 難易度：標準的な問題が中心だが、応用力を試す問題も含まれる。
- 出題傾向：
- 二次関数、微分・積分、場合の数が頻出。
- 条件付きの最大最小や、文字を含む関数問題がよく出題される。
- 記述力が問われ、計算過程を丁寧に書くことが求められる。
- 戦略：基礎を完璧に固めたうえで、条件付きの問題にも対応できる力をつける。
北海道大学（理系）
- 難易度：標準的だが、確実な計算力と解法の正確さが求められる。
- 出題傾向：
- 「図形と方程式」「二次関数」「確率」が頻出。
- 計算力を重視した問題が多く、論理的な記述力よりも計算の正確さが重視される。
- 戦略：基本問題を短時間で確実に解き、時間配分を意識した練習を積む。
東北大学は応用的な問題が出てくるけど、基礎を固めればいけそうですね。北海道大学のほうがシンプルに見えますが…。
うん、そうだね。東北大学では基礎を超えた応用力も試されるけど、君の今の力を磨いていけば十分対応できる。今日はまず基礎を固めながら、最大最小の解き方をしっかり押さえよう！
それじゃあ、まずは例題を使って、二次関数の関係の問題の解き方を確認していこう。
今から教えるポイントを意識してやってみよう！
二次関数の最大最小を攻略する3つのステップ
このテーマでは、次のポイントを押さえるのが重要だね。。
①平方完成で関数の形を把握しよう！
- 頂点の座標を正確に求め、関数の挙動を掴む。
②定義域に注目して場合分けをする！
- 下に凸の最小値なら、頂点が定義域に含まれるかどうかを確認し、端点も含めて値を求める。
- 下に凸の最大値なら、軸が定義域の真ん中より左にあるか、右にあるかで場合分けをし、端点に注目する。
③文字を含む問題では代入で確認を！
- \(a\) などの文字を含む場合、条件を代入して答えを簡潔にまとめる。
例題：文字を含む二次関数の最大値・最小値
問題設定
\(a\) は定数とする。関数 \(f(x)=−x^2+2ax+a^2\) について、次の問いに答えよ。
- 放物線 \(y=f(x)\) の頂点の座標を \(a\) で表せ。頂点はどうやって求める？
- 関数 \(y=f(x)(0≤x≤1)\) について：
(ア) 最大値 \(M\) を求めよ。
(イ) 最小値 \(m\) を求めよ。
(1) 頂点の座標を求める方法と解答
この関数の頂点を求めるにはどうすればいいかな？
平方完成を使うと頂点が求められますね。\[f(x)=−x^2+2ax+a^2=−(x^2−2ax)+a^2=−((x−a)^2-a^2)+a^2=-(x-a)^2+2a^2\] なので、頂点の座標は \((a, 2a^2)\) となります！
いい感じ！平方完成を使えば、グラフの形や頂点がすぐにわかるね。
(2) 定義域 \(0≤x≤1\) における最大最小を求める
(ア) 最大値 \(M\) を求める
最大値を求める際、場合分けが必要だね。どんな場合に分けるべきかな？
\(a\) によって頂点の位置が変わるので、以下の3つの場合に分けます！
1.\(0≤a≤1\)：頂点が定義域 \(0≤x≤1\) 内に含まれる場合。
2.\(a<0\)：頂点が定義域の左側にある場合。
3.\(a>1\)：頂点が定義域の右側にある場合。
場合分け 1：\(0≤a≤1\)
この場合、頂点 \((a, 2a^2)\) が定義域内にあるね。このとき最大値は？
頂点の \(y\)-座標が最大値なので、
\(M = 2a^2\)です！
バッチリだね！では次に行こう。
場合分け 2：\(a<0\)
この場合、頂点\((a, 2a^2)\) は定義域 \(0 \leq x \leq 1\) の左側にあるね。このとき最大値はどうなる？
頂点は定義域の外にあるので、端点 \(x = 0\) で最大値を取ります！
\(f(0) = a^2\)なので、この場合の最大値は
\(M = a^2\)です。
場合分け 3：\(a>1\)
最後にこの場合、頂点\((a, 2a^2)\) は定義域 \(0≤x≤1\) の右側にあるね。このとき最大値は？
頂点は定義域の外にあるので、端点\(x = 1\) で最大値を取ります！
\(f(1) = -1 + 2a + a^2\)よって、この場合の最大値は\(M = -1 + 2a + a^2\)です。
(イ) 最小値 \(m\) を求める
最小値を求める際は、場合分けの範囲が変わるよ。この場合どう分けるべき？
最小値は \(a\) の値によって、次の2つに分けます！
1.\(a < \frac{1}{2}\)：最小値が端点 \(x = 1\)
2.\(\frac{1}{2} \leq a\)：最小値が端点 \(x = 0\)
場合分け 1：\(a < \frac{1}{2}\)
この場合、最小値は \(x = 1\) で取るね。計算してみよう。
\(f(1)=−1+2a+a^2\) なので、最小値は\(m = -1 + 2a + a^2\) です。
バッチリだね！では次に行こう。
場合分け 2：\(\frac{1}{2} \leq a\)
この場合、最小値は \(x = 0\) で取られるね。計算すると？
\(f(0)=a^2\)なので、最小値は
\(m = a^2\)です！
解答とまとめ
(1) 頂点の座標：\((a,2a^2)\)
(2)
(ア) 最大値 \(M\)：場合分けにより
- \(0≤a≤1：M=2a^2\)
- \(a<0：M=a^2\)
- \(a>1：M=−1+2a+a^2\)
(イ) 最小値 \(m\)：場合分けにより
- \(\frac{1}{2} \leq a：m=a^2\)
- \(a < \frac{1}{2}：m=−1+2a+a^2\)
次回はこれをさらに応用した問題に挑戦しよう！
志望校に応じたおすすめ参考書と勉強法
東北大学や北海道大学を目指すなら、次の参考書を活用して効率よく学習を進めていこう！
参考書
- 『チャート式数学（青）』：標準問題を完璧にする。
- 『大学への数学 1対1対応の演習』：応用力を鍛える。
- 『理系数学の良問プラチカ』：入試レベルの実践力をつける。
勉強法
- 1年生の終わりまで：基礎を固める（偏差値55）。
- 2年生の夏まで：応用問題を解き、実力を伸ばす（偏差値60）。
- 3年生まで：過去問演習で記述力を鍛える（偏差値65）。
この流れなら自信がつきそうです！東北大学を何とかして目指したいです。
その意気だよ！今の力をさらに伸ばして、東北大学への道を一緒に切り開こう！
続きはノエクリの体験授業で！
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投稿者
荷川取
富士校舎の校舎長荷川取です！
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