三角関数の解き方のコツがすぐわかる！個別授業をチラ見せ！【重要問題セレクト数学Ⅱ】
2024.11.2 オンライン講座紹介 富士校 高校数学講座 高校生の講座紹介
荷川取
今日は『三角方程式の解の個数』の問題をやっていくぞ！
まずは基本から。たとえば、こんな問題があるとする。
2sin2x−sinx−1=0 (0≦x≦2π) の解の個数を求めよ。
この方程式の解の個数を求めたいけど、そのまま眺めていてもどうすればいいか迷うよな。だから、置き換えっていうテクニックを使ってみるぞ！
目次
Step 1: 置き換えをする
まず、この方程式を見てみると、sin xに関する二次方程式になってるよな。こういうときは、sin xを別の文字に置き換えると整理しやすくなる。
どうやって置き換えるの？
ここでは sin x=t と置いてみよう。そうすると、方程式がこうなる。
2t2−t−1=0
ほら、これでシンプルな二次方程式になっただろ？
Step 2: 二次方程式を解く
次は、この二次方程式を解くぞ。因数分解できる形だから、こう分けられる。
(2t+1)(t−1)=0
つまり、tの解は次の2つだ。
t=−1/2, t=1
よし！これで解決！
ちょっと待った！！実はまだ終わりじゃない。この t は sin x を置き換えただけだから、元の三角関数の範囲に収まってるかを確認しないといけないよ。
Step 3: 三角関数の範囲で確認
三角関数 sin x の範囲は覚えてるか？
うーんと、−1≦sin x≦1 だよね？
そう、それ！で、今回の解 t=−1/2 と t=1 が、この範囲に収まってるかチェックする。
- t=−1/2：範囲内で OK
- t=1：これも範囲内で OK
どっちも問題ないから、次はこれらを満たす x を探していこう。
Step 4: 解の個数を求める
次に、それぞれの t について、sin x=t が成り立つ角度を数えていくぞ。
ケース1: sin x=−1/2
単位円を思い浮かべてみて。まず、sinx=−1/2 になる角度ってどこだ？
えっと…下半分の 7π/6 と 11π/6 かな？
その通り！つまり、解はこの2つ。
ケース2: sin x=1
じゃあ、sin x=1 のときは？
これは π/2 の1つだけだよね？
正解！つまり、解の個数はここでは1つ。
Step 5: 合計して個数を出す
最後に、それぞれのケースの解を足せばいい。
2+1=3
ということは、この方程式の解の個数は「３つ」だ！
まとめ
じゃあ、今回の手順をざっとおさらいしよう。
- 置換する：sin x=t のように文字に置き換えて方程式を整理する。
- 解を求める：二次方程式を解いて t を求める。
- 範囲を確認：−1≦t≦1 に収まるかチェック。
- 単位円で考える：それぞれの t に対応する x の解を単位円を使って数える。
- 合計する：最後に個数を足して、解の個数を出す。
置き換えを使うと分かりやすいね！これならもっと難しい問題でもいけそう！
その意気だ！次は応用問題にチャレンジしてみよう！
2sin2x−sinx−a=0 (0≦x≦2π) の解の個数を求めよ。
模試・共通テスト・入試では、式に文字が含まれるこのレベルの問題がバンバン出題されるぞ！
今日中にここまでできるようになって帰ろう。
ハイ！
どうしよう。いきなりaが入って来たから混乱してきた…
焦らなくて大丈夫。文字が入っても、解き方はさっきと同じだ。置き換えをして解の個数を求めていこう。
続きはノエクリの体験授業で！
お問い合わせ
オンライン個別授業 or 校舎に通うリアル個別授業
投稿者
荷川取
富士校舎の校舎長荷川取です！
▲▲クリックして荷川取のブログ一覧(26ブログ公開中)を見る