数列の解き方のコツがすぐわかる！個別授業をチラ見せ！【重要問題セレクト数学B】
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荷川取
今日は漸化式について勉強していくよ！志望校の名古屋大学の入試でも頻出のテーマで、得点源にできるからしっかり押さえていこう。
漸化式って、似たようなパターンが多く、一般項を出すのが難しいイメージがあります…。東京都立大学も志望校に入れているんですけど、名古屋大学は難易度が高いですよね。
そうだね。名古屋大学の数学は確かに難しいけど、出題傾向が非常に安定しているんだ。しっかり対策を立てれば、戦略的に得点できる力が身につくよ。今日はその手始めに、漸化式を攻略してみよう！
目次
漸化式の極意！置き換えで複雑な数列を攻略しよう
漸化式の問題では次の3つがポイントになるよ。
①漸化式の種類を見極める力
- 等差数列や等比数列、階差数列に帰着できるかを判断するスキルが重要。
②置き換えによる式の簡略化を理解すること
- 問題に応じて式を適切に変形し、新たな数列を導く方法を習得しよう。
③計算力を磨き、最後まで手を止めない技術
- 計算ミスを防ぎ、最終解答までたどり着く力を鍛える。
今日は置き換えを使った解法なんですね。頑張ってやってみます！
その意気だ！次に、大阪大学と神戸大学の数学がどういう問題を出すか、具体的に話していこう。
名古屋大学と東京都立大学の入試難易度と出題傾向の比較
名古屋大学と東京都立大学の数学の違いを見てみよう。出題傾向にも注目して比較すると、それぞれの対策が見えてくるよ。
名古屋大学
- 難易度：旧帝大の中では「標準的」とされるけど、それは旧帝大の中での話。一般的には難問ぞろいで、特に「漸化式」「整数問題」「確率」などで高い論理力と計算力が求められる。
- 出題傾向：記述式中心で、論理的に解答を展開する力が必要。「漸化式」「微積分」「ベクトル」が頻出テーマ。過去問を分析すると、設定が複雑な問題が多いものの、解法自体は基礎力と応用力を組み合わせれば十分対応できる。
- 戦略：まず基礎力を固め、標準問題を確実に得点できるようにする。その上で応用問題に挑戦することで、全体の得点力を上げていくことが重要。
東京都立大学
- 難易度：名古屋大学と比べると標準問題が中心で、計算量が多い。高度な証明問題は少ないが、設定がシンプルな分、正確性が求められる。
- 出題傾向：「確率」「図形問題」「微積分」が頻出テーマ。計算力を問う問題が多く、応用力よりも正確に計算を進める力が必要。
- 戦略：基礎力を徹底し、計算ミスを防ぐ練習を積むこと。特に時間配分を意識して解く力をつけることが合格の鍵。
名古屋大学の方が難しいけれど、出題傾向が安定している分、準備をしっかりすれば戦えそうですね！
その通り！名古屋大学の数学は「基礎と標準問題の応用」が中心だから、焦らずに準備すれば十分対応できるよ。逆に、出題傾向を押さえずにやみくもに勉強しても成果が出にくいから、戦略的に取り組むのが大切だね。
それじゃあ、まずは例題を使って、漸化式の解き方を確認していこう。
さっき教えたポイントを意識してやってみよう！
例題：漸化式の一般項を求める
問題設定
次のように定義される数列\(a_n\) の一般項を求めよ。
\[a_1 = 1, \quad a_{n+1} = 2a_n + 2^n \quad (n \geq 1)\]
Step 1：与えられた漸化式を整理する
この漸化式をそのまま扱うのは計算が複雑になるから、「置き換え」を使って式を簡略化しよう。
まず、両辺を \(2^{n+1}\) で割って、新しい数列 {\(b_n\)} を定義するよ。
\[b_n=\frac{a_n}{2^n}\]
なるほど！これを使って、\(a_{n+1}\) の式を変形するんですね。
ここまでは完璧だね。じゃあ、次にこれを使って新しい漸化式を導いてみよう。
Step 2：新しい数列の漸化式を導く
\(b_n\) を用いて元の式を変形すると、
\[\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=\frac{2a_n}{2^{n+1}}+\frac{2^n}{2^{n+1}}\]
両辺を整理すると…
\[b_{n+1}=b_n+\frac{1}{2}\]
\(b_n\) の漸化式が簡単になりましたね！これなら一般項が求められそうです。
ここがポイントだよ！置き換えをすることで、漸化式の基本形が見えてくるんだ。
Step 3：新しい数列の一般項を求める
{\(b_n\)} の漸化式は、等差数列になっているよね。初項は\[b_1 = \frac{a_1}{2^1} = \frac{1}{2}\]だから、この数列の一般項は…？
等差数列の一般項の公式を使えば、\[b_n = b_1 + (n-1) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{n-1}{2} = \frac{n}{2}\]となります！
Step 4：元の数列の一般項を求める
素晴らしい！最後に、{\(b_n\)} の一般項を元に戻して、{\(a_n\)} の一般項を求めよう。\[a_n = b_n \cdot 2^n\] これを代入すると…？
分かりました！\[a_n = \frac{n}{2} \cdot 2^n = n \cdot 2^{n-1}\]です！
解答
解答とまとめ
この問題の一般項は、\[a_n = \frac{n}{2} \cdot 2^n = n \cdot 2^{n-1}\]だね。
置き換えを使うと計算が簡単になりました！この方法を他の漸化式でも試してみたいです。
漸化式は、このように問題に応じた工夫をすれば、難しそうな式も解きやすくなるよ。
志望校に応じたおすすめ参考書と勉強法
名古屋大学合格に向けて、次の参考書を活用すると良いよ！
参考書
- 『チャート式数学（青）』：基礎から応用までを網羅。
- 『大学への数学 1対1対応の演習』：漸化式や数列の問題に特化した練習が可能。
- 『名古屋大学の数学』：過去問を通じて、名大特有の出題傾向に慣れる。
勉強法
- 5月末まで：漸化式や数列の基礎を固め、例題を自力で解けるようにする。
- 夏休み中：応用問題に取り組み、名大の過去問で実戦練習。
- 秋以降：過去問を3周し、途中式を省略せず丁寧に解答する練習を繰り返す。
これなら具体的に何をすればいいか分かりやすいです！ありがとうございます。
このペースを守ってやり切れば、名古屋大学に間違いなく受かる！次回も頑張ろう！
続きはノエクリの体験授業で！
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投稿者
荷川取
富士校舎の校舎長荷川取です！
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