― どの瞬間に使うべきかがひと目で分かる ―

はじめに

ベクトルは「どの式を使えばいいのかわからない」「式の意味が分からない」で手が止まりがちですが、
実は パターンさえ知っていれば得点源になる単元 です。

今回は、入試で本当に使える 神ワザ３つ を
“どの瞬間に使うべきか” を明確にしながらまとめました。

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神ワザ①
位置を知りたいなら、係数の和＝1を無理やり作れ

― ベクトル式が出た瞬間に比が確定する最強テクニック ―

◆ 神ワザ①を使うべき瞬間

次の形に遭遇したら 一撃で使える ワザです：

\[\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB}\]

しかも、s や t が

小数、分数、よく分からない係数
になっている場合。

このとき s+t を1にそろえてしまえば比が分かる。
これが神ワザ①の発動点。

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【実例：国公立標準レベル】

A(2,1), B(8,4)。
P が \[\vec{OP}=2\vec{OA}+3\vec{OB}\]

と表されるとき、Pの位置を求めよ。

● 神ワザ①の使いどころ

係数は 2 と 3。
合計は 5。

→ 「5で割れば分点になる」 と即判断。

● 実際にそろえる

\[\vec{OP}=5\left(\frac{2}{5}\vec{OA}+\frac{3}{5}\vec{OB}\right)\]

括弧内の係数合計＝1
→ A:B＝３:２ の内分点。

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◆ 神ワザ①が刺さる入試パターン

• 分点の位置を求める
• 三角形の重心・中線・比の問題
• 等式から点Pの位置を求める問題
• 共通テストの誘導で微妙な係数が出る場面

何より
“位置関係を式を見るだけで理解できる”
のが最大のメリット。

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神ワザ②
「動く範囲」の問題は、s,t の条件4パターンで即答せよ

― 三角形・線分・平行四辺形を計算なしで判定 ―

◆ 神ワザ②を使うべき瞬間

• 問題文に 「Pが動く範囲（または存在範囲）を求めよ」 とある
• ベクトルが s,t を使った式になっている
• そこに s,t の等式or不等式 がくっついている

この3点が揃った瞬間、

→ 計算より先に “s,t の条件の形” を読む
これが神ワザ②の使いどころ。

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◆ よく出る条件パターン4つをインプットせよ！

s,t の条件	P の動く範囲
s≥0, t≥0, s+t=1	線分AB
s≥0, t≥0, s+t≤1	三角形OAB内
0≤s,t≤1	平行四辺形 OAB A’
s+t = 定数	直線

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【例題：共通テスト頻出レベル】

\[\vec{OP}=s\vec{OA}+t\vec{OB}\qquad(s\ge0,\;t\ge0,\;s+t\le1)\]

点Pの動く範囲を答えよ。

● 神ワザ②の使いどころ

不等式が見えた瞬間にこれは範囲判定問題 と気付く。

条件は

• s≥0
• t≥0
• s+t≤1

→ 三角形OAB の内部と辺。

● 解答

Pは三角形OABの内部およびその境界上に存在する。

◆ 神ワザ②が刺さる入試パターン

• “存在範囲”を問う問題
• パラメータを使った文章問題
• 共通テストの誘導問題
• 二次試験の前半で出てくる“範囲の確認”問題

特に計算が増えそうな場面ほど神ワザ②が効く。

◆ 併せて使えるテクニック②

s=0 / t=0 / s+t=1 の３本線で枠を作る

• s=0 → OB 上
• t=0 → OA 上
• s+t=1 → AB 上

この3つさえ理解していれば、
問題がどれだけ複雑に見えても枠組みが一瞬で決まる。

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神ワザ③ベクトルで角度が絡んだら内積！垂直・平行・最大最小を一撃で判定

― 角度の情報を直接読み取る ―

◆ 神ワザ③を使うべき瞬間

次の語句が出てきたら 迷わず内積へ切り替える。

「垂直」

「直角」

「平行」

「なす角」

「最大」「最小」

いずれも角度問題なので、
内積で処理するのが最短ルート。

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◆ 判定表

条件	方法
垂直	内積＝0
平行	成分比が等しい
和ベクトル最大	方向が同じ（θ＝0°）
和ベクトル最小	逆向き（θ＝180°）

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【例題：国公立標準レベル】

点Pを \[\vec{OP}=\vec{OA}+t\vec{AB}\]で表す。
PA ⟂ PB をみたす t を求めよ。

● 神ワザ③の使いどころ

「PA ⟂ PB」 → 内積＝0
と判断するのが開始点。

● 解法

\[\vec{PA}=\vec{OA}-\vec{OP}=-t\vec{AB}\]

\[\vec{PB}=\vec{OB}-\vec{OP}=(1-t)\vec{AB}\]

内積＝0

\[(-t\vec{AB})\cdot((1-t)\vec{AB})=0\]

\[t=0,  t=1\]

→ A と B のとき直角三角形が成立。

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◆ 神ワザ③が刺さる入試パターン

垂直条件

なす角一定

和ベクトルの長さの最大・最小

中線や高さの条件

三角形のタイプ（鋭角／直角／鈍角判定）

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◆ 併せて使えるテクニック③

成分で行くか／ベクトルのまま行くかを最初に決める

ベクトル問題は処理選択ミスが一番危険。

• 座標計算 → 成分が強い
• 範囲・比 → ベクトル式のままが強い
• 内積中心 → 成分が圧倒的

最初の5秒の判断で勝負が決まる。

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まとめ：３つの神ワザは“使う場面”を掴めば威力が最大化する

神ワザ	発動する瞬間	得られる効果
① 位置を知りたいなら、係数の和＝1を無理やり作れ	ベクトル式にs,tが出た瞬間	分点の比が丸見え、位置関係を瞬時に把握
② 「動く範囲」の問題は、s,t の条件4パターンで即答せよ	不等式つきのパラメータが出た瞬間	計算なしで図形の場所が確定
③ ベクトルで角度が絡んだら内積！垂直・平行・最大最小を一撃で判定	垂直・平行・角度・最大最小が出た瞬間	最短ルートで式を作れる

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