図形と方程式の解き方のコツがすぐわかる！個別授業をチラ見せ！【重要問題セレクト数学Ⅱ】
2025.1.18 オンライン講座紹介 大学受験オススメ情報 富士校 高校数学講座 高校生の講座紹介
荷川取
今日は「軌跡と方程式」をテーマに授業を進めるよ。この分野は京都大学の入試でも頻出で、軌跡をきちんと求められる力が問われるんだ。難しい問題もあるけど、基本の解法を押さえればスムーズに解けるようになるよ！
軌跡って何度か練習しましたけど、条件を式にするところがややこしくて…。それに、学校の先生からは「大阪大学に下げた方がいい」と言われて迷ってます。
その気持ちはわかるけど、京都大学を目指す価値は大きいよ！出題傾向や難易度をしっかり見比べながら考えていこうか。
目次
京都大学と大阪大学の入試難易度と出題傾向の比較
確かに難しいけれど、今から戦略的に取り組んでいけば受かる！ただ、今日からすぐに本気で取り組まないといけない。
まずは横浜国立大学と静岡大学の数学の特徴を比較してみよう。難易度や出題傾向を知ると、自分に何が必要なのかが明確になるよ。
京都大学（理系）
- 難易度：旧帝大の中でもトップレベル。論理的思考力と高度な数学的発想が求められる。
- 出題傾向：
- 軌跡と方程式、微分・積分、確率の設定を伴う問題が頻出。
- 小問が与えられないことが多く、自力で筋道を立てる力が必要。
- 記述問題が中心で、答案の論理構成が重視される。
- 戦略：
- 標準的な問題を短時間で解ける力をつけた上で、難問にも挑戦する習慣をつけること。
- 本番レベルの演習を行い、解ける問題と解けない問題を見極める力をつけること。
大阪大学（理系）
- 難易度：京都大学に次ぐレベル。標準的な問題が多いが、論述形式で部分点を得られる工夫が必要。
- 出題傾向：
- 「図形と方程式」「三角関数」「ベクトル」などの基本分野が頻出。
- 記述問題が中心だが、京都大学ほど論理構成を厳密に求めない。
- 問題設定はややシンプルだが、ミスを防ぐ注意深さが必要。
- 戦略：旧帝大の2次試験で頻出の典型問題を完璧にし、まずは計算力と速さを磨くこと。
京都大学のほうが、問題を深く考える力が求められるんですね…。でも、どうしても京都大学を目指したい気持ちは変わりません！
その意気だよ！京都大学の数学は難易度が高いけど、基礎力を応用できる君なら十分戦える。今日は軌跡問題の解法を押さえながら、得点力を上げるためのコツを一緒に磨こう！
それじゃあ、まずは例題を使って、軌跡の問題の解き方を確認していこう。
今から教えるポイントを意識してやってみよう！
軌跡を求める3つのStepを攻略！
軌跡を求めるときは、以下の3つのポイントを押さえておくと解きやすいよ。
①軌跡の手順を理解しよう！
- Step1：求める点を \((X,Y)\) とおく。
- Step2：与えられた条件を \(X,Y\) で表す。
- Step3：得られた式を整理して、軌跡の方程式を導く。
②軌跡の条件を正確に式に落とし込む
- 例えば、距離の比や内分点の条件を使って、式を丁寧に構築すること。
③複雑な問題に備えよう
- 京都大学を目指すなら、複数の条件が絡む問題や、放物線・円などの軌跡が複合的に絡む問題にも対応できるようにしておく。
手順は意外とシンプルなんですね！でも、本番レベルの難易度になると、条件をどう式にしていくのか迷いそうです…。
そこが京都大学の難しい部分だね。最初は、標準レベルの問題を用いて、問題文をよく読んで条件に合わせた方法を選ぶことから始めるといいよ。例題を解きながら具体的に見ていこう！
例題：軌跡の基本パターンを使う問題
問題設定
\(xy\)平面において，点 \(A(0,1)\) を固定点とする。点 \(P\) が直線 \(y=2x−1\) 上を動くとき、線分 \(AP\) を \(1：2\) に内分する点 \(Q\) の軌跡を求めよ。
Step 1：問題の条件を読み解く
まず、固定点 \(A(0,1)\) と動点 \(P\)
が与えられているから、求める点 \(Q(x,y)\) を座標で表現しよう。点 \(Q\) の位置はどのように表せる？
点 Q
QQ は線分 \(AP\) を \(1：2\) に内分する点だから、内分点の公式を使います！\[Q = \left( \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot x_P}{1 + 2}, \frac{2 \cdot 1 + 1 \cdot y_P}{1 + 2} \right) = \left( \frac{x_P}{3}, \frac{2 + y_P}{3} \right)\]
いいね！次に、動点 \(P\) が直線 \(y=2x−1\) 上を動くことを条件に加えよう。
Step 2：点 \(P\) の座標を利用して式を立てる
\(P\) の \(x\) 座標を \(t\) と置いて考えるとどうなる？
直線の式 \(y=2x−1\) を使うと、点 \(P\) の座標は \(P(t,2t−1)\)となりますね。
その通り！これを \(Q(x,y)\) の式に代入してみよう。
はい！点 \(Q\) の座標を求めると、\[x = \frac{t}{3}, \quad y = \frac{2 + (2t – 1)}{3} = \frac{2t + 1}{3}\]です。
Step 3：軌跡の方程式を導く
最後に、\(x = \frac{t}{3}\) を使って \(t\)
を消去しよう。
\(t = 3x\) だから、これを \(y = \frac{2t + 1}{3}\) に代入すると、\[y = \frac{2(3x) + 1}{3} = 2x + \frac{1}{3}\]となります！
いいね！これで点 \(Q\) の軌跡が直線 \(y = 2x + \frac{1}{3}\) であることがわかったね。
解答とまとめ
求める軌跡
点 \(Q\) の軌跡は次の直線：\[y = 2x + \frac{1}{3}\]
\内分点の公式をしっかり活用すれば、今回のような軌跡問題は簡単に解けるよ。次回はさらに条件が複雑になる問題に挑戦してみよう！
志望校に応じたおすすめ参考書と勉強法
京都大学を目指すなら、次の参考書を活用して効率よく学習を進めよう！
参考書
- 『チャート式数学（青）』：標準問題を網羅。
- 『大学への数学 1対1対応の演習』：応用問題に慣れるために最適。
- 『理系数学の良問プラチカ』：京都大学レベルの問題にも対応可能。
- 『京大の理系数学 27か年』：京都大学の過去問演習に最適。
勉強法
- 2年3月まで：標準問題を確実に解ける力を身につける。
- 目標偏差値：65（模試数学）
- 夏休み中：応用問題を解き、記述対策を強化する。
- 目標偏差値：68（模試数学）
- 秋以降：京都大学の過去問を徹底的に解き、答案の完成度を高める。
- 目標偏差値：70（模試数学）
この流れなら自信がつきそうです！京都大学に何としても合格してみせます！
その意気だよ！今の力をさらに伸ばして、京都大学への道を一緒に切り開こう！
続きはノエクリの体験授業で！
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投稿者
荷川取
富士校舎の校舎長荷川取です！
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