微分の解き方のコツがすぐわかる！個別授業をチラ見せ！【重要問題セレクト数学Ⅱ】
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荷川取
今日は微分の基本、特に接線の方程式について勉強していくよ！接線は微分の基礎を活用するテーマだから、数学Ⅱの重要単元だね。北海道大学でも頻出だから、ここをしっかり得意にしておくことが大事だ。
接線の方程式ですね…。公式があった気がしますが、うまく使えるか自信がないです。それに、北大が難しいと感じたときは金沢大学に下げるべきかも迷っています。
接線の公式はシンプルだけど、しっかり計算を追えるかがカギだよ。そして、北海道大学と金沢大学の違いも含めて解説するから、志望校の判断材料にしてみてね。まずは授業のポイントを整理してみよう。
目次
微分×接線＝数学Ⅱの得点源！計算力を磨いて差をつけよう
接線の方程式を扱うときは、次の3つのポイントを押さえよう。
①微分の計算を正確に行うこと
- 関数を微分して傾きを求めるスキルは必須だね。
②接点の座標を見落とさないこと
- 接線の方程式 \(y=f′(a)(x−a)+f(a)\) に必要なのが接点の座標。与えられていない場合は、文字で表すようにしよう。
③途中計算を整理してミスを防ぐこと
- 接線問題は計算量が増えるから、式の整理が重要だよ。
公式は覚えていますが、計算が増えると途中で分からなくなることがあります…。
それなら、基本を確認しながら例題を一緒に解いていこう。焦らずに進めれば、苦手も克服できるよ！
北海道大学と金沢大学の入試難易度と出題傾向の比較
まずは東北大学と北海道大学、それぞれの数学の特徴を比較してみよう。志望校を決める判断材料にもなるはずだよ。
北海道大学（理系）
- 難易度：旧帝大らしく、計算力と論理力を問う記述式問題が中心。微分・積分や確率、ベクトルが頻出テーマだね。特に応用力が求められる。
- 出題傾向：典型問題が多いものの、難易度が高めの応用問題も含まれる。微分では「接線」「最大値・最小値」「変化率」を活用した問題が頻出だ。
- 戦略：基礎問題を確実に得点できる力をつけ、応用問題で部分点を狙うのが鍵だね。過去問演習を繰り返すことで出題傾向を掴むのが効果的。
金沢大学（理系）
- 難易度：北海道大学よりはやや易しい問題が中心。標準問題が多く、基礎力をしっかりと問う傾向がある。
- 出題傾向：
- 微分・積分の基本的な応用問題が頻出で、最大値・最小値や接線の方程式が問われやすい。
- 図形や確率などの計算問題も多く、数学的な思考力よりも正確な計算力が求められる。
- 難問は少ないが、基礎的な問題での失点が合否を左右する。
- 戦略：基礎力を徹底し、典型問題をスムーズに解ける力をつけることが重要だね。時間配分を意識した演習が効果的。
金沢大学は基礎的な問題が中心なんですね。北海道大学と比べると少し取り組みやすそうに感じます…。
そうだね。ただ、基礎的な問題が中心だからこそ、簡単そうに見えてミスが命取りになることもあるんだ。北大を目指す場合は応用力も磨く必要があるけれど、まずは基礎をしっかり固めることがどちらの場合でも重要だよ。
それじゃあ、まずは例題を使って、接線の問題の解き方を確認していこう。
さっき教えたポイントを意識してやってみよう！
例題：接線の方程式を求める
問題設定
次の関数のグラフにおいて、指定された点での接線の方程式を求めよ。\[f(x) = x^3 – 2x^2 + x + 1 \quad \text{点 } (1, f(1))\]
Step 1：関数を微分する
まずは微分して、接線の傾きを求めよう。関数
\(f(x)\) を微分すると…？
公式を使って、\(f′(x)=3x^2−4x+1\)
ですね！
よくできたね！次に、接点 \(x=1\) のときの傾きを求めてみよう。
Step 2：接点での傾きを求める
\(f′(1)\) を計算すると…
\(f′(1)=3 \cdot 1^2−4 \cdot 1+1=0\)
接点での傾きは 0 ですね！
いいね！つまり、この点での接線は水平な直線になるんだ。次に接線の方程式を立ててみよう。
Step 3：接線の方程式を立てる
接線の方程式は \(y = f'(a)(x – a) + f(a)\) だったね。今回は傾きが 0 だから…？
水平な直線になるので、方程式は単に \(y = f(1)\) ですね。
\(f(1)=1^3-2 \cdot 1^2+1+1=1\)
よって、接線の方程式は \(y =1\) です！
正解！水平な接線もしっかり計算で確認することが大事だよ。
解答
解答とまとめ
今回の接線の方程式は、
\(y=1\) となるね。
シンプルな結果でも、計算をしっかり追うと自信を持てますね！
そうだね！次回は、もう少し複雑な接線問題に挑戦してみよう。
志望校に応じたおすすめ参考書と勉強法
北海道大学・金沢大学を目指すなら、次の参考書と勉強法を試してみよう！
参考書
- 『チャート式数学（青）』：基礎から標準問題を網羅。
- 『大学への数学 1対1対応の演習』：応用問題の演習に最適。
- 『理系数学の良問プラチカ』：北大レベルの記述問題に対応する力を養える。
勉強法
- 2年3月まで：基礎問題を徹底的に解き、微分の計算力をつける。
- 目標偏差値：60（模試数学）
- 夏休み中：標準問題を中心に記述力を磨き、応用問題に挑戦する。
- 目標偏差値：62（模試数学）
- 秋以降：志望大学の過去問を繰り返し解き、答案の完成度を高める。
- 目標偏差値：65（模試数学）
この流れなら頑張れそうです！金沢大学に下げず、北海道大学に挑戦してみようと思います！
今日から本気になってこの勉強法を続ければ、今からでも北海道大学にいけるよ。先生が伴走するから、一緒に頑張ろう！
続きはノエクリの体験授業で！
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投稿者
荷川取
富士校舎の校舎長荷川取です！
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