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複素数と方程式の解き方のコツがすぐわかる!個別授業をチラ見せ!【重要問題セレクト数学Ⅱ】

荷川取

今日は「複素数と方程式」の中から「解と係数の関係」について扱うよ。ここは名古屋大学の数学でもよく出題される重要なテーマだから、基礎をしっかり押さえて得点源にしていこう!

解と係数の関係って、基本的にはわかるんですけど、複雑になると間違えることがあります…。それに、学校の先生からは「北海道大学に下げた方がいい」って言われて、少し不安なんです。

そうだね。名古屋大学は確かに難易度が高いけど、基礎力がある君なら十分目指せるよ!出題傾向を押さえつつ、北海道大学と名古屋大学の数学を比較してみようか。


名古屋大学と北海道大学の入試難易度と出題傾向の比較

確かに難しいけれど、正しく対策すればいける!!
まずは名古屋大学と北海道大学の数学の特徴を比較してみよう。難易度や出題傾向を知ると、自分に何が必要なのかが明確になるよ。

名古屋大学(理系)

  • 難易度:旧帝大の中でも標準的なレベル。ただし、問題の質が高く、論理力や考察力が求められる。
  • 出題傾向
    • 複素数と方程式微分・積分空間ベクトルが頻出。
    • 数学では、典型問題が多いが、それを深く考察する問題が出題される。特に「解と係数の関係」を応用した設定もあるね。
    • 記述問題が中心で、答案の完成度が合否に直結する。
  • 戦略:標準問題を確実に解けるようにすることが最重要。その上で、過去問を徹底的に解き、解答の正確さと速さを高める。

北海道大学(理系)

  • 難易度:名古屋大学より少し易しいが、計算量が多い問題が多い。
  • 出題傾向
    • 「複素数と方程式」や「確率」、標準的な「微分・積分」が頻出。
    • 記述よりも計算重視の問題が多く、スピードが重要になる。
    • 難問は少なく、基礎力をしっかり活用すれば得点しやすい。
  • 戦略:基礎力を徹底し、標準問題を時間内に解き切る力をつけること。

名古屋大学の数学は深く考える力が求められるんですね。
北海道大学のほうが取り組みやすい感じもしますけど、やっぱり名古屋大学を目指したいです!

その気持ちが大事だよ!名古屋大学の数学は難しいけれど、君の標準問題への対応力があれば、応用問題にも対応できる素地はある。これから一緒に、応用力も鍛えていこう!

それじゃあ、まずは例題を使って、解と係数の関係の問題の解き方を確認していこう。
今から教えるポイントを意識してやってみよう!


解と係数の関係を完全攻略!数学Ⅱの典型問題をマスターしよう

このテーマでは、次のポイントを押さえるのが重要だね。。

  • 次のような状況で特に活用する:
    • 解(\(\alpha\)、\(\beta\)など)が文字で与えられる。
    • 2次方程式に文字定数を含む設定。
  • 問題の条件をそのまま解と係数の関係に落とし込む。
  • 3次方程式 \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) の解を \(x=α,β,γ\) とすると、以下が成り立つ: \[α+β+γ=−\frac{b}{a},\quad αβ+βγ+γα=\frac{c}{a},\quad αβγ=−\frac{d}{a}\]
  • ​特に「解の積の部分和」\(αβ+βγ+γα\)が絡む問題が頻出。

例題:解と係数の関係を活用する問題

問題設定

次の2次方程式 \(2x^2−3x+4=0\) の2つの解を \(x=α,\quad β\) とする。以下の値を求めよ。\[(1) \quad 2α+2β\]\[(2) \quad \frac{β}{α}+\frac{α}{β}\]


Step 1:問題を読み、解と係数の関係の使いどころを見極める

まこの問題では、まさにポイント1「解と係数の関係の使いどころを見極めろ!」が重要だね。この方程式の解 \(α,\quad β\) が設問に現れたから、まずは解の和と積を求めるところから始めよう。

なるほど!解の和と積は、公式を使えば簡単に出せますよね?


Step 2:解と係数の関係を使う

そうだね。まず、解の和と積を求めてみよう。
\[2α+β=\frac{−(−3)}{2}​=\frac{3}{2}​,\quad αβ=\frac{4}{2}​=2\]

これで解の和と積が出たので、これを使って順に計算していきます!


Step 3:1. \(2α+2β\) を求める

じゃあ、\(2α+2β\) はどう計算する?

\(α+β=\frac{3}{2}\)​ を使えば、\[2α+2β=2(α+β)=2×\frac{3}{2}​=3\]となります!

バッチリだね!では次に行こう。


Step 4:2. \(\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}\)​ を求める

この計算は少し手間が増えるよ。どこから手をつける?

\(\frac{β}{α}​+\frac{α}{β}\)​ を1つの分数にしてみます。
\[\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta^2 + \alpha^2}{\alpha \beta}\]​なので、まず \(β^2+α^2\) を計算します。

その通り!\(β^2+α^2\) を計算するには、次の式を使うんだ。\[\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 – 2\alpha \beta\]
この式は「対称式」の問題で頻出だから確実にインプットしておこう!

はい!\[\alpha^2 + \beta^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 – 2 \times 2 = \frac{9}{4} – 4 = \frac{-7}{4}\]となります。

いいね!じゃあ、これを元に戻すと…?

元に戻すとこうなりますね!\[\frac{β}{α}​+\frac{α}{β}​=\frac{β^2+α^2}{αβ}​=\frac{−7/4}{2}​​=\frac{−7​}{8}\]

その通り!これで2つの値が求まったね。


\[(1) \quad 2α+2β=3\]\[(2) \quad \frac{β}{α}+\frac{α}{β}=-\frac{7}{8}\]

解と係数の関係を使えば、こんなふうに効率よく計算できるんだ。次回はこれをさらに応用した問題に挑戦しよう!


志望校に応じたおすすめ参考書と勉強法

名古屋大学を目指すなら、次の参考書を活用して効率よく学習を進めていこう!

参考書

  1. 『初めから始める数学(マセマ)』:基礎をしっかり固めるためのスタートに最適。
  2. 『チャート式数学(青)』:基礎から標準問題を網羅。
  3. 『大学への数学 1対1対応の演習』:応用問題に慣れるために最適。
  4. 『理系数学の良問プラチカ』:名古屋大学レベルの難易度に対応し、応用力を養える。

勉強法

  • 2年3月まで:標準問題を確実に解ける力を身につける。
    • 目標偏差値:65(模試数学)
  • 夏休み中:応用問題を解き、名古屋大学の記述対策を強化する。
    • 目標偏差値:68(模試数学)
  • 秋以降:名古屋大学の過去問を徹底的に解き、記述力を高める。
    • 目標偏差値:70(模試数学)

この流れなら自信がつきそうです!北海道大学に下げる必要はないですね。

その意気だよ!今の力をさらに伸ばして、名古屋大学への道を一緒に切り開こう!

続きはノエクリの体験授業で!


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投稿者

荷川取

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