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はじめに

「最大値なのに軸を見るってどういうこと？」
「場合分けって言われても、どこでどう分ければいいかわからない…」

そんなふうに悩んだことはありませんか？

高校1年生で学ぶ二次関数の最大・最小問題。
中でも厄介なのが、文字が含まれる“場合分け”タイプの問題です。

でも安心してください。場合分けが必要な問題には、次の3パターンしかありません。

そして、どのパターンでも場合分けのやり方は一貫しているため、正しい考え方を学べば即座に見分けられるようになります。

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場合分けが必要な最大最小の問題3パターン

パターン	特徴	例
① 軸が動くタイプ	軸の位置（\(x = −\frac{b}{2a}\)）が文字で決まる	\(y=x^2−4kx+2\)
② 定義域の片側が動くタイプ	範囲の右端または左端が文字で動く	\(y=x^2−2x+1(k≤x≤4)\)
③ 定義域の両側が動くタイプ	範囲の両端が文字で動く	\(y=x^2−3x+2(k≤x≤2k)\)

神ワザ1
どこに文字定数があるのかを確認し、どのタイプかを瞬時に判断！

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下に凸（a > 0）で最小値を求める場合分け

最小値は谷底＝軸で出るのが基本。
でも、軸が範囲外なら、最も近い端点で最小値が出る！

🔽【場合分けと見るべきポイント】

軸の位置	最小値が出る場所	見るべきポイント
軸 ＜ 範囲の左端	x = 範囲の左端	軸が範囲に入っていないか？
軸 が範囲の中	x = 軸	範囲の中に軸があるか？
軸 ＞ 範囲の右端	x = 範囲の右端	軸が範囲を超えていないか？

神ワザ2
下に凸の最小値は「軸が範囲内にあるかどうか」で分ける！

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下に凸（a > 0）で最大値を求める場合分け

最大値は、両端のどちらか（または両方）で出る。
だから見るべきは軸と定義域の“中心（中央値）”との関係！

🔽【場合分けと見るべきポイント】

軸の位置	最大値が出る場所	見るべきポイント
軸 ＝ 中心	両端（同じ値）	定義域の中心 = (下限＋上限)/2 と軸が一致？
軸 ＜ 中心	上限（右端）	軸が左寄り → 右端の方が高い
軸 ＞ 中心	下限（左端）	軸が右寄り → 左端の方が高い

神ワザ3
下に凸の最大値は、範囲の中央で場合分け！
ここでは“軸が範囲に入っているか”ではなく、“どちら寄りか”を見る！

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上に凸（a < 0）の場合は見方を入れ替えよう

💡上に凸のとき：

• 最小値 → 両端どちらかで出る
• 最大値 → 軸で出る（谷ではなく山になる）

つまり、下に凸の最小値の考え方 ↔ 上に凸の最大値の考え方を入れ替えればOK！

凸の向き	最大値の探し方	最小値の探し方
下に凸（a > 0）	軸と定義域の“中心（中央値）”の関係で場合分け	軸と範囲の関係で場合分け
上に凸（a < 0）	軸と範囲の関係で場合分け	軸と定義域の“中心（中央値）”の関係で場合分け

神ワザ4
上に凸の場合分けは、下に凸の場合分けの仕方を入れ替える！

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例題：軸が動くタイプで最小値・最大値を求めてみよう

例題： \(y=x^2−4kx+2(1≤x≤5)について、kの値によって以下の問いに答えよ。
（※a = 1 → グラフは下に凸）

(1) 最小値を求めよ（※下に凸）

🔍 Step 1：軸の位置を求める

\[x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4k}{2} = 2k\]

🔍 Step 2：軸と範囲を比べて場合分け！

条件	最小値が出るxの値
2k<1	x = 1（左端）
1≤2k≤5	x = 2k（軸）
2k>5	x = 5（右端）

👉 着目ポイント：軸が範囲に含まれるか？含まれないか？

(2) 最大値を求めよ（※下に凸）

🔍 Step 1：定義域の中心を求める

\[\frac{1 + 5}{2} = 3\]

🔍 Step 2：軸（2k）と中心を比較して判断！

条件	最大値が出るxの値
2k=3	x = 1 または 5（両端、同じ値）
2k<3	x = 5（右端）
2k>3	x = 1（左端）

👉 着目ポイント：軸が中心より左か右か？それによって片端が決まる！

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まとめ：「場合分けの流れはこう判断する！」

🔻最大・最小問題の3ステップ

🔹Step①：グラフの向き（aの符号）を見る

• a > 0 → 下に凸（∪）
• a < 0 → 上に凸（∩）

🔹Step②：軸を求める（x = −b/2a）

🔹Step③：目的（最大 or 最小）に応じて比較する

求めたい値	比較の相手	判断のポイント
最小値（下に凸）	軸と範囲	軸が範囲内なら軸、外なら近い端点
最大値（下に凸）	軸と中心	軸＝中心→両端同じ／左右どちら寄りかで決定

※上に凸ならこの表を“逆”にして使えばOK！

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おわりに

場合分けが難しいのは、「どこに注目すればいいか」が分からないから。
でも実際には、

• 最小値：軸と範囲の位置
• 最大値：軸と範囲の中心

この2つを見るだけで、処理の流れはパターン化し、瞬殺できます。
「いつもなんとなく両端を代入していた…」という人こそ、
今日からこの判断法で、自信をもって即答できるようになります！

ノエクリの授業なら、この最大最小が1回60分の授業でできるようになる！

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